第六百七十六章：《大正整数因子分解具备多项式算法的求解证明！》
《大正整数因子分解具备多项式算法的求解证明！》</P></p>
看着手机上刘嘉欣发送过来的文件，徐川愣了一下，随即反应了过来。</P></p>
他快速的点击文件，将其下载下来的同时拉开了威信。</P></p>
“你证出来了？”</P></p>
手指疾速的在九宫格的键盘上敲击了几下，一条简短的信息发送了出去。</P></p>
与此同时，他快速的将文件发给自己的助理，并发了条信息过去：“帮我将这份文件以最快的速度打印出来送我房间里面来。”</P></p>
这边的信息发完，那边刘嘉欣的消息也回过来了。</P></p>
“嗯，这项方法应该可以解决大正整数因子分解问题，但我不确定里面是否还有缺陷，想请你帮我看看。”</P></p>
徐川快速的扣字回道：“正在打印，我这边马上看。”</P></p>
顿了顿，他补了一句：“我明天下午回去。”</P></p>
“没事的，不用急，你先忙你的事情，论文不用着急。”</P></p>
对面的消息很快就回复了过来，不过徐川已经没在意了。</P></p>
他起身从背包中摸出了电脑，快速的打开后将pdF论文上传到了电脑上。</P></p>
在打印出来的论文送到他手上前，电脑的屏幕总比手机更大一些。这种顶级的数学论文，他已经迫不及待的想要看看具体内容了。</P></p>
打开，论文的正题映入眼帘中。</P></p>
《大正整数因子分解具备多项式算法的求解证明！》</P></p>
论文的标题很直白，就是p=Np问题中的第一问，也是之前他和刘嘉欣讨论过的难题。</P></p>
不过对于p=Np？问题，他的了解并不是很深。</P></p>
作为其提出的20世纪18个重大数学未决问题之一，数学家斯梅尔选择了下列源自传统数学问题的Np完全问题作为“p=Np？”问题的代表。</P></p>
“即：给定Z上关于n个变量的k个多项式，问是否存在多项式时间的算法判定它们在n上有公共零点。而这一描述提法主要是受到了布朗韦尔关于希尔伯特零点定理判定算法的影响。”</P></p>
简单的来说，就是设f1，···，fk是n个变元的复系数多项式，根据希尔伯特hilbert零点定理，f1，···，fk在复数域上不存在公共零点当且仅当存在n个变元的复系数多项式g1，···，gk满足k∑i=1·GiFi=1。</P></p>
如果说，对于这些专业数学语言理解起来有些困难的话，p=Np？问题用相对通俗一些的话语来描述则可以分成两部分。</P></p>
‘p类问题’和‘Np类问题’。</P></p>
当然，这里是为了帮助理解而简约化的两个概念，是抛开了数学上的严谨性和复杂性，简而明了的理解做出的简化。</P></p>
p代表了这样一类问题，计算机在解决它们的时候可以有速度非常快的方法。这个速度和计算机硬件无关，仅仅取决于这个解决方法本身的便捷性。</P></p>
而Np代表了另一类问题，它们有最优解，但是，其中很多问题，计算机在寻求最优解时，没有快速的方法，甚至，只能傻傻的、暴力的、尝试所有可能的组合，然后找到最优解。</P></p>
Np问题中，最难的一类问题，被称为Npc，也就是Np完全问题。</P></p>
如果这样说依旧不够具体的话，用一个小小的故事来举例，相信你能更加简约的理解。</P></p>
假设你在参加一个盛大的宴会，想要知道里面有没有认识的人。</P></p>
这个时候，宴会的主人对你说，你一定认识正站在甜点桌右边角落里的女士小A，于是你立刻扫向那里，发现他说的是对的，你的确认识她。</P></p>
于是，通过宴会主人的信息，你很容易判断出A女士你认识。</P></p>
但如果他不告诉你这些，你就需要环顾整个大厅，审视过每一个人，然后才知道有没有认识的人。</P></p>
通过宴会主人的暗示，找到小A女士，就是p类问题；</P></p>
而你按照他的提示发现自己认识小A女士，容易检查到小A女士就是Np问题。</P></p>
在某岛国作家《嫌疑人x的献身》推理小说中，石神和汤川曾讨论，解决一个命题和判断一个命题是否正确，哪个更难。</P></p>
其实数学界早就已经给出了答案，p=Np？问题就放在哪里，它告诉了所有人，生成问题的一个解，通常比验证一个给定的解，要花费更多时间。</P></p>
比如，如果让你计算世界上所有原子个数的总和，这个问题很困难，甚至无解。</P></p>
但是，如果有人告诉你世界上一共有500个原子，那么你能很快验证他是错的。很容易验证，却不容易求解，这种就是Np类问题。</P></p>
p类问题是可以在多项式时间内解决并验证的一类问题;Np类问题是可以多项式时间验证但是不确定能否在多项式时间内解决的一类问题。</P></p>
很显然，所有p类问题都属于Np类问题，但是无法确定Np是否等于p。</P></p>
而自“p=Np”提出以来，无论是数学界也好，还是计算机领域也好，都做了很多尝试。</P></p>
要证明p=Np，最显然的方法就是给出一个Np完全问题的多项式时间的算法。</P></p>
但在过去的几十年里，一大批数学家和程序人员为寻找Np完全问题的多项式时间的算法做了很多工作，都没有成功。</P></p>
当然，也有很大的一批人在尝试给出p≠Np？，甚至在如今的主流数学界和计算机行业，大部分的学者和研究人员都认为p≠Np？。</P></p>
原因很简单，如果p=Np，则意味着，每一个Np问题都可以转化成p，也就是每一个难题最终可以变成一个简单命题，让计算机可以快速求解。</P></p>
这意味着人类目前的数学体系、计算机体系、常识....等等各方面的东西都将被颠覆。</P></p>
如果最终p=Np被证实，我们就可以将任何一个Np问题转化为一个p问题。那些现在看起来很难的问题都能够轻松的解决它。</P></p>
比如围棋有了终极解，生物领域中可以轻松破解遗传密码来任意操纵基因序列，很多数学猜想能够用计算机来演算推导，大量难题被解决等等。</P></p>
同时，如p=Np，这将会在未来很短的时间内导致所有加密算法彻底失效，你的银行卡，手机密码，社交账号变得不再安全，黑客能够轻松进入你的电脑，比特币，区块链这些近年来很火的概念将会成为无人问津的领域。</P></p>try{ggauto();} catch(ex){}
如果p=Np，那么在这个宇宙中，就必然存在着一把能够解开这个世界上所有问题的简单钥匙。</P></p>
如果这样的钥匙真的存在，它大概早已在这个宇宙中存在了。</P></p>
比如，人类可能早已有了万事万物看一遍就会的本领，或是某种生物一生下来就不必为了生存而抗争，因为它们的算法极其优异，可以在任何环境中以最高效的方式生存下来。</P></p>
但无论是从直觉、哲学、宗教、亦或者科学上，人们都很难相信这样的宇宙捷径存在。</P></p>
老实说，徐川也不相信宇宙中会存在着这样的一把‘万能’钥匙，但涉及到p=Np？的证明，哪怕是阶段性的，他也会拿出最集中的精力来进行处理。</P></p>
.......</P></p>
电脑屏幕上的论文不断的翻动着，一行行的数学公式和释义在徐川眼眸中划过。</P></p>
正在这时，房间外传来叮咚叮咚的门铃声。</P></p>
快速的起身，徐川穿过卧房打开了房门，门口，跟随着他一起出差的生活助理唐思佳正站在门口，手中抱着厚厚一叠刚打印出来的文件。</P></p>
“教授，这是您要的东西。”</P></p>
将还带着余温和墨香的论文递了过来，唐思佳补了一句：“论文下有一叠没用过的A4纸，可以给您演算。”</P></p>
虽然知道徐川一般会随身携带笔和一些稿纸，但能让她以最快的速度打印出来的东西，毫无疑问重要至极。</P></p>
因此，她担心这位随身携带的稿纸数量不够，便直接从打印房里面抽了一叠空白A4字一起送过来了。</P></p>
果然，在听到了论文下有附带的空白A4纸张后，徐川眼前一亮，快速的从助理唐思佳手中接过了论文和稿纸。</P></p>
“太好了，谢谢！”</P></p>
唐思佳微微一笑，开口道：“不客气，如果教授您还有其他的需求，给我发个消息就行......”</P></p>
对面，都没听清楚自家这个小助理说了些什么，徐川就性急的摆了摆手，抱着论文和稿纸快速的回到了酒店房间的书房，甚至连房门都没顾得上关。</P></p>
门外，唐思佳脸上带着的笑容僵硬了一下，随即默默的关上了门，转身离去的同时顺带在心中祝福了一句。</P></p>
虽然她看不懂打印出来的论文，但出于好奇，在打印的空闲期，她用手机搜索了一下论文的标题。</P></p>
而这份论文标题，似乎涉及到了七大千禧年难题之一的p=Np？猜想。</P></p>
作为徐川的助理，尽管不是数学专业的，但她多多少少也了解一些数学领域的东西，很清楚每一个千禧年难题的重量，以及对国家，乃至全世界的影响力。</P></p>
任何一个千禧年难题的解决，都能极大的推动数学，乃至其他学科，甚至是整个社会的发展。</P></p>
就如同NS方程一样，尽管她看不懂证明，甚至都弄不明白NS方程这个问题的意思，但她却很清楚的知道，可控核聚变技术的解决，正是建立在NS方程的基础上。</P></p>
希望教授这一次也能够顺利的解决p=Np？难题。</P></p>
看着转身进入书房中的背影，唐思佳默默在心中祷告了一句。</P></p>
......</P></p>
书房中，徐川并不知道外面的小助理还有那么多的心思，此刻他的注意力全都集中在手中的论文上。</P></p>
相对比在电脑屏幕上看论文，他更喜欢这种可以用手掂量的知识。</P></p>
【释义：本文给出一个p类问题可以用一个确定性的算法在多项式么时间内判定或者解出的方法及其多项式时间判定算法。给出了判定方程组f1=0，···，fk=0存在复数解算法的复杂性布尔多项式中gi的项数的上界.......】</P></p>
“.....这是旨在探索p和Np的复杂性类别之间关，在以前的论文中，我们已经证明了satcNF问题可以多项式化为在一个集合的特殊分解下寻找该集合的特殊覆盖的问题，反之亦然。”</P></p>
“.....定义1:称G=是加标多级图，如果满足以下条件:</P></p>
1.V为顶点集合，V=VUnUVu…UV，VnV=0，0≤ij≤L，i≠j。如果uV，0≤i≤L，称u所在级为i级，也称u是i级的顶点。L称为G的级。</P></p>
2.E为边的集合，E中的边均为有向边，它用三元组表示。如果E，1≤l≤L，则ueV-1vEV。称为G的第l级的边。</P></p>
3.和都只包含唯一顶点。称中的唯一顶点为源点，记为S，称，中的唯一顶点为汇点，记为d......”</P></p>
4........</P></p>
.......</P></p>
手中的论文在眼眸中流过，徐川一瞬不瞬的翻阅着每一句话，每一个数学公式，甚至是每一个标点符号。</P></p>
整数的因数分解是一个易于理解、清楚明白的问题，但它却并不是一个简单的问题。</P></p>
相对而言，较小整数的因数分解是一个小学算术问题，可一旦充分大的数，例如一个50位的整数的因数分解问题就是一个超级数学难题了。</P></p>
如果是用小学学过的‘试除法’xp^2)÷其结果为4mp^2），即使采用电子计算机，一个人一辈子也做不出来。</P></p>
就算是假设人类从一产生起就一代接一代地利用电了计算机用试除法来分解这个整数，即便是从计算机发明到现在，过了数个世纪，这个50位的数仍然无法分解出来。</P></p>
所以寻找一个多项式，做到在有限的时间内完成大正整数因子分解，是数论领域数学家的终极梦想之一。</P></p>
包括徐川自己，也一直都在期待着有人能够完成它，哪怕是仅仅在这条路上推进一步，都是无比期待的。</P></p>
“.....也就是说，这些问题在多项式上是等价的。”</P></p>
“在本文中，我们证明了所有这些算法过程都具有多项式的时间复杂度相对于输入数据的长度，找到了一项可以处理大正整数因子的多项式分解算法。”</P></p>
当最后一句话映入眼帘时，坐在书桌前不知道多久的徐川终于放下了手中的论文，长舒了口胸中的浊气，揉了揉有些发酸的腰椎。</P></p>
尽管这种顶级猜想的证明不是看一遍就能完全确定的东西，但从第一遍的论文来看，以他的数学直觉来看，刘嘉欣她，做到了！</P></p>
........</p></div>
看着手机上刘嘉欣发送过来的文件，徐川愣了一下，随即反应了过来。</P></p>
他快速的点击文件，将其下载下来的同时拉开了威信。</P></p>
“你证出来了？”</P></p>
手指疾速的在九宫格的键盘上敲击了几下，一条简短的信息发送了出去。</P></p>
与此同时，他快速的将文件发给自己的助理，并发了条信息过去：“帮我将这份文件以最快的速度打印出来送我房间里面来。”</P></p>
这边的信息发完，那边刘嘉欣的消息也回过来了。</P></p>
“嗯，这项方法应该可以解决大正整数因子分解问题，但我不确定里面是否还有缺陷，想请你帮我看看。”</P></p>
徐川快速的扣字回道：“正在打印，我这边马上看。”</P></p>
顿了顿，他补了一句：“我明天下午回去。”</P></p>
“没事的，不用急，你先忙你的事情，论文不用着急。”</P></p>
对面的消息很快就回复了过来，不过徐川已经没在意了。</P></p>
他起身从背包中摸出了电脑，快速的打开后将pdF论文上传到了电脑上。</P></p>
在打印出来的论文送到他手上前，电脑的屏幕总比手机更大一些。这种顶级的数学论文，他已经迫不及待的想要看看具体内容了。</P></p>
打开，论文的正题映入眼帘中。</P></p>
《大正整数因子分解具备多项式算法的求解证明！》</P></p>
论文的标题很直白，就是p=Np问题中的第一问，也是之前他和刘嘉欣讨论过的难题。</P></p>
不过对于p=Np？问题，他的了解并不是很深。</P></p>
作为其提出的20世纪18个重大数学未决问题之一，数学家斯梅尔选择了下列源自传统数学问题的Np完全问题作为“p=Np？”问题的代表。</P></p>
“即：给定Z上关于n个变量的k个多项式，问是否存在多项式时间的算法判定它们在n上有公共零点。而这一描述提法主要是受到了布朗韦尔关于希尔伯特零点定理判定算法的影响。”</P></p>
简单的来说，就是设f1，···，fk是n个变元的复系数多项式，根据希尔伯特hilbert零点定理，f1，···，fk在复数域上不存在公共零点当且仅当存在n个变元的复系数多项式g1，···，gk满足k∑i=1·GiFi=1。</P></p>
如果说，对于这些专业数学语言理解起来有些困难的话，p=Np？问题用相对通俗一些的话语来描述则可以分成两部分。</P></p>
‘p类问题’和‘Np类问题’。</P></p>
当然，这里是为了帮助理解而简约化的两个概念，是抛开了数学上的严谨性和复杂性，简而明了的理解做出的简化。</P></p>
p代表了这样一类问题，计算机在解决它们的时候可以有速度非常快的方法。这个速度和计算机硬件无关，仅仅取决于这个解决方法本身的便捷性。</P></p>
而Np代表了另一类问题，它们有最优解，但是，其中很多问题，计算机在寻求最优解时，没有快速的方法，甚至，只能傻傻的、暴力的、尝试所有可能的组合，然后找到最优解。</P></p>
Np问题中，最难的一类问题，被称为Npc，也就是Np完全问题。</P></p>
如果这样说依旧不够具体的话，用一个小小的故事来举例，相信你能更加简约的理解。</P></p>
假设你在参加一个盛大的宴会，想要知道里面有没有认识的人。</P></p>
这个时候，宴会的主人对你说，你一定认识正站在甜点桌右边角落里的女士小A，于是你立刻扫向那里，发现他说的是对的，你的确认识她。</P></p>
于是，通过宴会主人的信息，你很容易判断出A女士你认识。</P></p>
但如果他不告诉你这些，你就需要环顾整个大厅，审视过每一个人，然后才知道有没有认识的人。</P></p>
通过宴会主人的暗示，找到小A女士，就是p类问题；</P></p>
而你按照他的提示发现自己认识小A女士，容易检查到小A女士就是Np问题。</P></p>
在某岛国作家《嫌疑人x的献身》推理小说中，石神和汤川曾讨论，解决一个命题和判断一个命题是否正确，哪个更难。</P></p>
其实数学界早就已经给出了答案，p=Np？问题就放在哪里，它告诉了所有人，生成问题的一个解，通常比验证一个给定的解，要花费更多时间。</P></p>
比如，如果让你计算世界上所有原子个数的总和，这个问题很困难，甚至无解。</P></p>
但是，如果有人告诉你世界上一共有500个原子，那么你能很快验证他是错的。很容易验证，却不容易求解，这种就是Np类问题。</P></p>
p类问题是可以在多项式时间内解决并验证的一类问题;Np类问题是可以多项式时间验证但是不确定能否在多项式时间内解决的一类问题。</P></p>
很显然，所有p类问题都属于Np类问题，但是无法确定Np是否等于p。</P></p>
而自“p=Np”提出以来，无论是数学界也好，还是计算机领域也好，都做了很多尝试。</P></p>
要证明p=Np，最显然的方法就是给出一个Np完全问题的多项式时间的算法。</P></p>
但在过去的几十年里，一大批数学家和程序人员为寻找Np完全问题的多项式时间的算法做了很多工作，都没有成功。</P></p>
当然，也有很大的一批人在尝试给出p≠Np？，甚至在如今的主流数学界和计算机行业，大部分的学者和研究人员都认为p≠Np？。</P></p>
原因很简单，如果p=Np，则意味着，每一个Np问题都可以转化成p，也就是每一个难题最终可以变成一个简单命题，让计算机可以快速求解。</P></p>
这意味着人类目前的数学体系、计算机体系、常识....等等各方面的东西都将被颠覆。</P></p>
如果最终p=Np被证实，我们就可以将任何一个Np问题转化为一个p问题。那些现在看起来很难的问题都能够轻松的解决它。</P></p>
比如围棋有了终极解，生物领域中可以轻松破解遗传密码来任意操纵基因序列，很多数学猜想能够用计算机来演算推导，大量难题被解决等等。</P></p>
同时，如p=Np，这将会在未来很短的时间内导致所有加密算法彻底失效，你的银行卡，手机密码，社交账号变得不再安全，黑客能够轻松进入你的电脑，比特币，区块链这些近年来很火的概念将会成为无人问津的领域。</P></p>try{ggauto();} catch(ex){}
如果p=Np，那么在这个宇宙中，就必然存在着一把能够解开这个世界上所有问题的简单钥匙。</P></p>
如果这样的钥匙真的存在，它大概早已在这个宇宙中存在了。</P></p>
比如，人类可能早已有了万事万物看一遍就会的本领，或是某种生物一生下来就不必为了生存而抗争，因为它们的算法极其优异，可以在任何环境中以最高效的方式生存下来。</P></p>
但无论是从直觉、哲学、宗教、亦或者科学上，人们都很难相信这样的宇宙捷径存在。</P></p>
老实说，徐川也不相信宇宙中会存在着这样的一把‘万能’钥匙，但涉及到p=Np？的证明，哪怕是阶段性的，他也会拿出最集中的精力来进行处理。</P></p>
.......</P></p>
电脑屏幕上的论文不断的翻动着，一行行的数学公式和释义在徐川眼眸中划过。</P></p>
正在这时，房间外传来叮咚叮咚的门铃声。</P></p>
快速的起身，徐川穿过卧房打开了房门，门口，跟随着他一起出差的生活助理唐思佳正站在门口，手中抱着厚厚一叠刚打印出来的文件。</P></p>
“教授，这是您要的东西。”</P></p>
将还带着余温和墨香的论文递了过来，唐思佳补了一句：“论文下有一叠没用过的A4纸，可以给您演算。”</P></p>
虽然知道徐川一般会随身携带笔和一些稿纸，但能让她以最快的速度打印出来的东西，毫无疑问重要至极。</P></p>
因此，她担心这位随身携带的稿纸数量不够，便直接从打印房里面抽了一叠空白A4字一起送过来了。</P></p>
果然，在听到了论文下有附带的空白A4纸张后，徐川眼前一亮，快速的从助理唐思佳手中接过了论文和稿纸。</P></p>
“太好了，谢谢！”</P></p>
唐思佳微微一笑，开口道：“不客气，如果教授您还有其他的需求，给我发个消息就行......”</P></p>
对面，都没听清楚自家这个小助理说了些什么，徐川就性急的摆了摆手，抱着论文和稿纸快速的回到了酒店房间的书房，甚至连房门都没顾得上关。</P></p>
门外，唐思佳脸上带着的笑容僵硬了一下，随即默默的关上了门，转身离去的同时顺带在心中祝福了一句。</P></p>
虽然她看不懂打印出来的论文，但出于好奇，在打印的空闲期，她用手机搜索了一下论文的标题。</P></p>
而这份论文标题，似乎涉及到了七大千禧年难题之一的p=Np？猜想。</P></p>
作为徐川的助理，尽管不是数学专业的，但她多多少少也了解一些数学领域的东西，很清楚每一个千禧年难题的重量，以及对国家，乃至全世界的影响力。</P></p>
任何一个千禧年难题的解决，都能极大的推动数学，乃至其他学科，甚至是整个社会的发展。</P></p>
就如同NS方程一样，尽管她看不懂证明，甚至都弄不明白NS方程这个问题的意思，但她却很清楚的知道，可控核聚变技术的解决，正是建立在NS方程的基础上。</P></p>
希望教授这一次也能够顺利的解决p=Np？难题。</P></p>
看着转身进入书房中的背影，唐思佳默默在心中祷告了一句。</P></p>
......</P></p>
书房中，徐川并不知道外面的小助理还有那么多的心思，此刻他的注意力全都集中在手中的论文上。</P></p>
相对比在电脑屏幕上看论文，他更喜欢这种可以用手掂量的知识。</P></p>
【释义：本文给出一个p类问题可以用一个确定性的算法在多项式么时间内判定或者解出的方法及其多项式时间判定算法。给出了判定方程组f1=0，···，fk=0存在复数解算法的复杂性布尔多项式中gi的项数的上界.......】</P></p>
“.....这是旨在探索p和Np的复杂性类别之间关，在以前的论文中，我们已经证明了satcNF问题可以多项式化为在一个集合的特殊分解下寻找该集合的特殊覆盖的问题，反之亦然。”</P></p>
“.....定义1:称G=是加标多级图，如果满足以下条件:</P></p>
1.V为顶点集合，V=VUnUVu…UV，VnV=0，0≤ij≤L，i≠j。如果uV，0≤i≤L，称u所在级为i级，也称u是i级的顶点。L称为G的级。</P></p>
2.E为边的集合，E中的边均为有向边，它用三元组表示。如果E，1≤l≤L，则ueV-1vEV。称为G的第l级的边。</P></p>
3.和都只包含唯一顶点。称中的唯一顶点为源点，记为S，称，中的唯一顶点为汇点，记为d......”</P></p>
4........</P></p>
.......</P></p>
手中的论文在眼眸中流过，徐川一瞬不瞬的翻阅着每一句话，每一个数学公式，甚至是每一个标点符号。</P></p>
整数的因数分解是一个易于理解、清楚明白的问题，但它却并不是一个简单的问题。</P></p>
相对而言，较小整数的因数分解是一个小学算术问题，可一旦充分大的数，例如一个50位的整数的因数分解问题就是一个超级数学难题了。</P></p>
如果是用小学学过的‘试除法’xp^2)÷其结果为4mp^2），即使采用电子计算机，一个人一辈子也做不出来。</P></p>
就算是假设人类从一产生起就一代接一代地利用电了计算机用试除法来分解这个整数，即便是从计算机发明到现在，过了数个世纪，这个50位的数仍然无法分解出来。</P></p>
所以寻找一个多项式，做到在有限的时间内完成大正整数因子分解，是数论领域数学家的终极梦想之一。</P></p>
包括徐川自己，也一直都在期待着有人能够完成它，哪怕是仅仅在这条路上推进一步，都是无比期待的。</P></p>
“.....也就是说，这些问题在多项式上是等价的。”</P></p>
“在本文中，我们证明了所有这些算法过程都具有多项式的时间复杂度相对于输入数据的长度，找到了一项可以处理大正整数因子的多项式分解算法。”</P></p>
当最后一句话映入眼帘时，坐在书桌前不知道多久的徐川终于放下了手中的论文，长舒了口胸中的浊气，揉了揉有些发酸的腰椎。</P></p>
尽管这种顶级猜想的证明不是看一遍就能完全确定的东西，但从第一遍的论文来看，以他的数学直觉来看，刘嘉欣她，做到了！</P></p>
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